特征方程的共轭复根推导过程如下：

首先，考虑一个二次特征方程，其一般形式为：

ax^2 + bx + c = 0

ax

2

+bx+c=0

其中，

a

a、

b

b 和

c

c 是方程的系数，且

a \\neq 0

a



=0。

根据求根公式，该方程的解为：

x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

x=

2a

−b±

b

2

−4ac

当判别式

\\Delta = b^2 - 4ac < 0

Δ=b

2

−4ac<0 时，方程没有实数解，而是有一对共轭复根。此时，根号下的表达式是一个负数，因此解的形式变为：

x = \\frac{-b \\pm i\\sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}

x=

2a

−b±i

−(b

2

−4ac)

为了更清晰地表示这对共轭复根，可以进一步化简：

令

\\alpha = -\\frac{b}{2a}

α=−

2a

b

和

\\beta = \\frac{\\sqrt{-(b^2 - 4ac)}}{2a}

β=

2a

−(b

2

−4ac)

，则方程的解可以表示为：

x_1 = \\alpha + \\beta i

x

1

=α+βi

x_2 = \\alpha - \\beta i

x

2

=α−βi

这就是特征方程的共轭复根。可以看出，这两个根是复数，并且它们的实部相同，虚部互为相反数，因此它们是共轭的。

共轭复根在物理和工程领域中有广泛的应用，特别是在描述振动、波动和控制系统等动态现象时。它们表示了系统的固有频率和阻尼特性，对于分析和设计这些系统具有重要意义。

以上是对特征方程共轭复根推导的详细解释，希望对你有所帮助。